What is Numerical Analysis?

In the applied sciences it frequently happens to face complex mathematical problems as, for instance, the solution of a polynomial equation of 5th degree, or the solution of a system of hundred linear equations with hundred variables, or again the solution of a non-linear differential equation. What is common to problems of this kind? A common characteristic is that they are usually difficult or even impossible to be solved by hand. In such cases there is the possibility to exploit the power of the computer, which performs millions of operations per second. The aim of Numerical Analysis is to develop efficient methods (so-called algorithms), that can be implemented in a computer, in order to solve complex mathematical problems. It has to be observed that usually the solution obtained using a numerical method is an approximation of the exact solution of the problem. Therefore the corresponding approximation error plays a crucial role in Numerical Analysis. This webpage contains a set of graphical animations about some of the most fundamental methods of Numerical Analysis. A peculiarity of the animations we developed is a step by step representation of the solution. In other words the effect of each iteration can be observed simultaneously in the Cartesian graphic, as well as in the table containing the calculated values and errors and in the programming code of the algorithm. Have fun!

Cos'è la matematica numerica?

Nelle scienze applicate spesso capita di imbattersi in problemi matematici complessi come, per esempio, la risoluzione di un'equazione polinomiale di quinto grado, oppure di un sistema lineare di cento equazioni e cento incognite, o ancora la risoluzione di un'equazione differenziale non lineare. Cos'hanno in comune problemi di questo tipo? Hanno la caratteristica comune di essere difficili o addirittura impossibili da risolvere con "carta e penna". In questi casi spesso si tenta di sfruttare come supporto la potenza del calcolatore, che può eseguire milioni di operazioni in un secondo. La matematica numerica si pone come obiettivo lo sviluppo di metodi (cosiddetti algoritmi) efficienti implementabili in un computer per risolvere problemi matematici complessi. Va osservato che in genere la soluzione ottenuta tramite un metodo numerico sarà un'approssimazione della soluzione esatta. Si dovrà quindi fare i conti con un certo errore di approssimazione. Questa pagina contiene una serie di animazioni che illustrano il funzionamento di alcuni metodi fondamentali della matematica numerica. Una particolarità delle animazioni che abbiamo sviluppato è la rappresentazione passo per passo della soluzione. Si può cioè seguire l'effetto di ogni iterazione in modo simultaneo nel grafico cartesiano, nella tabella dei valori e degli errori e nel codice implementato dell'algoritmo. Buon divertimento!

Janos Barta, SUPSI (Scuola Universitaria Professionale della Svizzera Italiana)

Andrea Graf, SUPSI (Scuola Universitaria Professionale della Svizzera Italiana)

Goran Josic, eLab (eLearning Lab)